敏度分析
在本节中,将分析数据中扰动较小时对非奇异方阵线性方程解的影响.
$A(X+\Delta x)=y+\Delta y$;
关键问题,$\Delta y$较小时对$\Delta x$的影响
$\frac{||\Delta x||_2{||x||_2}\le||A^{-1}||_2||A||_2\frac{||\Delta y||_2}{||y||_2}$
注意,上式中,关键部分在于这里矩阵的范数的这个系数.
定义7
设,$\sigma_1,\sigma_n$分别是矩阵A的最大奇异值和最小奇异值,那么
$||A||_2=\sigma1,||A^{-1}||_2=1/\sigma_n$
因此,矩阵的条件数也可以定义为:
$条件数(A)=\frac{\sigma_1}{\sigma_n}$;
范数在数值计算中定义条件数的重要行.
当条件数比较大时,y上的扰动可能会导致x上有很大的扰动,即方程对输入数据的变化非常敏感.
A是奇异时:条件数->$\infin$
引理
对于输入项的敏感性
即将上式子中的比例替换为条件数
系数矩阵汇中扰动的敏感性
\frac{||x||_2}{||x+\Delta x||_2}
引理2
对A,y联合扰动的敏感型
引理3
