数学基础W12:矩阵计算之特征值问题
特征值问题本质是什么问题?
多项式求根问题.
五阶以上的方程很难得到显示的根.
所以矩阵特征值一般都使用数值计算和迭代法.
16.1圆盘定理
本质是给根做估计,即给特征值的界限做一个估计.
在实际解决问题时,还需要关注特征值特征向量是否时病态的,即是否对扰动很敏感,即一经扰动就变化很大.
圆盘定理
描述n阶矩阵的特征值在复平面的分布范围.(盖氏圆盘/盖氏圆)
定理1
对于行盖尔圆而言,我们可以称之为去心绝对行和(去掉对角线 的值),此时 就是圆心。
该定理说的是矩阵A的任意特征值都在行盖尔圆之中。
对$A^T$应用圆盘定理可以进一步优化结果.即行盖尔圆与列盖尔圆
定理1只说明了矩阵A的特征值均在其全部盖尔圆的并集中,并没有哪个连通部分有几个特征值
取A的相似矩阵还可以进一步估计A的特征值的范围.
因为相似矩阵特征值相等.
也可以通过圆盘定理估计谱(最大的特征值)的范围.
圆盘定理与实根分离.
求近似根时的区间逼近.