数据科学的数学基础W10(3):基于奇异值分解的矩阵的性质

基于奇异值分解的矩阵的性质

设矩阵$A\in R^{m \times n}$;对角矩阵上非0元素等于矩阵的秩;

$A=U\Sigma V^T$;

$U$和$V$给出了四个基本子空间的一组正交基:

$U$的前r列:A的列空间

$U$的后m-r列:A的左零空间

$V$的前r列,A的行空间

$V$的后n-r列,A的零空间;

广义逆

$A_{m\times n}$:

$(AG)^T=AG$

$(GA)^T=GA$

$GAG=G$

$AGA=A$

如果G是A的Moore-Penrose逆,则G是A唯一的广义逆(以Moore-Penrose逆)的定义;

当A为列满rank,A=($A^TA)^{-1}A^T$

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