数学基础W15:凸集和凸集的保凸运算和凸函数

阅读数: 次 2020-06-18

凸集和凸集的保凸运算

设$x_1\neq x_2$是空间中的两个点。

$y=\theta x_1+(1-\theta)x_2$

先两个点，再扩展一个点…？？

$x_1,x_2\in C,\theta\in R,有\theta_1+(1-\theta)x_2\in C$

一个集合 $C$ 是凸的，若 $C$ 中任意两点之间的线段都在 $C$ 中，即对 $\forall x_1,x_2\in C$ ), $\forall \theta \in [0,1]$ 都有 $\theta x_1+(1-\theta)x_2\in C$ 。

如果对 $\forall x\in C$ , $\theta \geq 0$ 都有 $\theta x\in C$ ，则称集合 $C$ 是锥。

超平面是具有以下形式的集合：

$(x|a^Tx=b)$

解析的：超平面是关于x的非平凡线性方成的解空间(仿射集合)

几何的：与给定向量a的内积为常数的点的集合；法线方向为a的超平面，b是偏移

【凸优化笔记1】-仿射集、凸集和锥 - Lauer的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/101948518

超平面把空间划分为两个半空间

支撑超平面c.f.切平面。

函数是凸的：定义域是凸集，且对于x,y和任意$\theta \in[0,1]$

$f(\theta x+(1-\theta)y)\le\theta f(x)+(1-\theta)f(y)$

限制在直线上判断是否是凸函数

对数函数代负号是为了保证他是凸的。