姜启源/司守奎Week2:微分方程模型

阅读数: 15次 2020-07-29

方程模型

微分方程建模

微分方程建模将实际问题的数学描述转化为微分方程的求解问题。

方法步骤

建系
找基本规律
列方程和定解条件。

列方程的常见方法

按规律直接列方程
微元分析法与任意区域上取积分法
模拟近似法

微分方程建模用例

传染病模型

SIS/SIR
经济增长模型

Douglas生产函数

资金与劳动力的最佳分配

经济生产率增长的条件
正规战和游击战
药物在体内的分布与排除
1. 快速静脉注射
2. 恒速静脉滴注
3. 口服或肌肉注射
香烟过滤嘴的作用
人口的预测和控制

Malthus模型

阻滞增长模型Logisticm模型
烟雾的扩散和消失
万有引力：发射卫星为什么使用三级火箭

稳定性模型（稳定状态模型）

动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述。

建模的target:不在于求解动态过程的瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，即时间充分长以后动态过程的变化趋势。

即分析这种稳定与不稳定的规律，而是利用微分方程稳定性理论进行研究。

稳定性的相关理论。

#todo

再生资源的管理和开发(捕鱼业)

资源增长模型

Logistic模型：种群在自然环境中生存时，数量的演变遵循Logistic规律

资源开发模型

Scheafer模型

经济效益模型

Volterra模型(弱肉强食)

种群的相互竞争/相互依存/…

常微分方程的解法

完成微分方程的建立后，需要求出方程的解来说明实际现象。

而高数中，只有线性常系数微分方程且自由项是某些特殊类型的函数，才可以得到解。

故使用数值解法，解决微分方程的解相关问题。

微分方程的解，就是求解一个满足次微分方程的函数。

微分方程的离散化

$\begin{cases}\frac{dy}{dx}=f(x,y)&&a\le x \le b\y(a)=y_0\end{cases}$

假定函数连续且关于y满足Lipschitz条件。

故微分方程的解必定存在且唯一。

离散化方法

差商近似导数
数值积分方法
Taylor多项式近似(不仅可以得到求数值解的公式，且可以估计截断误差)

Euler方法

改进的Euler方法

补充Matlab的工具箱中Euler方法的功能函数。

对于简单的一阶方程的初值问题

$\begin{cases}y’=f(x,y)\y(x_0)=y_0\end{cases}$
改进的Euler公式，编写改进的Euler方法函数eulerpro.m

改进的Euler公式为：

$\begin{cases}y_p=y_n+hf(x_n,y_n)\y_q=y_n+hf(x_n+h,y_p)\y_{n+1}=\frac{1}{2}(y_p+y_q)\end{cases}$

Runge-Kutta方法（RK方法）

线性多步法

一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法

初值问题的MATLAB求解和符号解。

7.1Matlab数值解

非刚性常微分方程的解法

Matlab提供了几个解非刚性常微分方程的功能函数，如ode45,ode23,ode113.

Ode23,ode45,ode113的使用

[t,y]=solver('F',tspan,y0)

这里solver为ode45，ode23，ode113，输入参数 F 是用M文件定义的微分方程 y‘= f (x, y)右端的函数。tspan=[t0,tfinal]是求解区间（自变量x的值)，y0是初值列向量。

刚性常微分方程解法

Matlab的工具箱提供了几个解刚性常微分方程的功能函数，如ode15s，ode23s， ode23t，ode23tb，这些函数的使用同上述非刚性微分方程的功能函数。

高阶微分方程 $y^(n)=f(t,y,y’,…,y^(n-1))$ 的解法

例子：考虑初值问题

$y’’’-2y’’-y’y=0\ y(0)=0 y’(0)=1 y’’(0)=-1$
要现将初值问题改写成

$Y’=F(t,Y),Y(0)=Y_0$ ，其中

$Y_0$ 是初值。

例子：求解van der Pol方程

先编写待解决的function，再套用matlab的模型。

常微分方程的解析解

Matlab提供了强大的求解常微分方程的符号运算dsolve

符号D表示对变量的求导，Dy表示对y的一阶导数，当需要求变量的n阶导数时，用Dn表示，D4y表示对变量y求4阶导数。

常微分方程的通解
常微分方程的初边值问题
求解常微分方程组
求解线性常微分方程组
1. 一阶齐次线性微分方程组。

【Attention!】注意区分边值问题和初值问题的区别！

初值问题可以看成运动轨迹的起点，边值问题可以看成运动轨迹的边界。

边值问题的matlab解法