姜启源/司守奎Week3:差分方程模型

阅读数: 次 2020-08-03

什么是差分方程？

包含未知函数的差分及自变数的方程。在求微分方程的数值解时，常把其中的微分用相应的差分来近似，所导出的方程就是差分方程。通过解差分方程来求微分方程的近似解，是连续问题离散化的一个例子。

差分方程很简单，就是一个递推的关系，序列的某一项定义为前一项的函数，然后一直迭代，就构成了微分方程，当信息符合该特征的时候，我们就可以用差分方程建模，来解出我们想要的答案。

差分方程模型一般的应用在哪里？

差分方程建模一般用在数据的预测上

齐次高阶差分方程的Matlab解法

我们以二阶齐次差分方程为例，考虑如下差分方程

ax(k + 2) + bx(k + 1) + cx(k ) = 0 ， x(0) = x0 ， x(1) = x1

例子：x ( k + 2 ) + 3 x ( k + 1) + 2 x ( k ) = 0 ， x ( 0 ) = 0 ， x (1) = 1

1
2
3

clc,clear
syms a k yk
a=[0 1;-2 -3]; a=sym(a); [vec,val]=eig(a); y0=[0;1]; yk=vec*val.^k*inv(vec)*y0

市场经济中的蛛网模型

在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波动的现象。在经济领域中，可以从自由集市上某种商品的价格变化看到如下现象:在某一时期，商品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得该商品无利可图，转而经营其它商品;一段时间之后，随着产量的下降，带来的供不应求又会导致价格上升，又有很多生产商会进行该商品的生产; 随之而来的，又会出现商品过剩，价格下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将会反复出现。

商品销售量的预测

在利用差分方程建模研究实际问题时，常常需要根据统计数据并用最小二乘法来拟合出差分方程的系数。其系统稳定性讨论要用到代数方程的求根。对问题的进一步研究又常需考虑到随机因素的影响，从而用到相应的概率统计知识。

简单例子，根据前5年的销量来预测第6年的销量

	1	2	3	4	5
1	11
2	16
3	25
4	12

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